Question

已知△ABC的周长为

2

+1，且sinA+sinB=

2

sinC
（I）求边AB的长；
（Ⅱ）若△ABC的面积为

1

6

sinC，求角C的度数．

Answer 1

分析：（I）先由正弦定理把sinA+sinB=

2

sinC转化成边的关系，进而根据三角形的周长两式相减即可求得AB．
（2）由△ABC的面积根据面积公式求得BC•AC的值，进而求得AC²+BC²，代入余弦定理即可求得cosC的值，进而求得C．

解答：解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC=

2

+1．BC+AC=

2

AB，
两式相减，得：AB=1．
（Ⅱ）由△ABC的面积=

1

2

BC•ACsinC=

1

6

sinC，得
BC•AC=

1

3

，
∴AC²+BC²=（AC+BC）²-2AC•BC=2-

2

3

=

4

3

，
由余弦定理，得cosC=

AC2+BC2-AB2

2AC•BC

=

1

2

，
所以C=60°．

点评：本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识．此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握，并能运用它们灵活地进行边与角的转化，解三角形问题也是每年高考的一个重点，但难度一般不大，是高考的一个重要的得分点．