Question

在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，

(1)设对角线D₁B与自D₁出发的三条棱分别成α、β、γ角，求证：cos²α+cos²β+cos²γ=1；

(2)设对角线D₁B与自D₁出发的三个面分别成α、β、γ角，求证：cos²α+cos²β+cos²γ=2.

Answer 1

思路解析：本题应作出要求的角,并把它们放到相应的三角形中解题.

证明：如图,设AB=a,AD=b,AA₁=c,D₁B=l.

(1)连结BC₁,不妨设∠BD₁C₁=α,则cos²α=.同理,cos²β=，cos²γ=.

又∵l²=a²+b²+c²，

∴cos²α+cos²β+cos²γ==1.

(2)连结B₁D₁.∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴∠BD₁B₁就是D₁B与平面A₁B₁C₁D₁所成的角.

不妨设∠BD₁B₁=α,则cos²α=.

同理,cos²β=

∴cos²α+cos²β+cos²γ= =2.