题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，上顶点为A，右顶点为B.点
在椭圆C内，且直线
与直线
垂直.
（1）求C的方程；
（2）设过点P的直线交C于M，N两点，求证：以
为直径的圆过点
.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
(1)根据椭圆的基本量关系、直线垂直的斜率关系求解即可.
(2)先分析当直线
的斜率为0时是否满足，再分析当直线的斜率不为0时，设其方程为
，联立椭圆得出韦达定理，再计算可得
即可证明.
（1）因为A为椭圆
的上顶点，所以
，
则直线
的斜率
.
因为与直线
垂直，所以
，解得
.
设C的焦距为
，因为C的离心率为
，所以
，.
则
，所以
.
所以C的方程为.
（2）由（1）知，
.
当直线的斜率为0时，线段即为C的长轴，M或N与B重合，
则以为直径的圆过点B.
当直线的斜率不为0时，设其方程为.
联立
，消去x得
，
整理得
，设
，
.
则
，
.
那么
，
所以
.
所以
，即以为直径的圆过点B.
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【题目】千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区
的
天日落和夜晚天气，得到如下
列联表：
夜晚天气日落云里走 | 下雨 | 未下雨 |
出现 |
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未出现 |
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参考公式：
.
临界值表：
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（1）根据上面的列联表判断能否有
的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关？
（2）小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取
天，再从这天中随机抽出
天进行数据分析，求抽到的这天中仅有
天出现“日落云里走”的概率．
