Question

已知函数f（x）=x³-2ax²+x
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求实数a的最大值；
（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，得f′（x）≥0（x＞1）恒成立，进而可转化为函数最值问题解决．
（2）f（x）≥ax即x³-2ax²+x≥ax（x＞0）恒成立，可变为a≤

x2+1

2x+1

（x＞0）恒成立，只需y求出

x2+1

2x+1

在（0，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-4ax+1，
∵f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=3x²-4ax+1≥0（x＞1）恒成立，即a≤

3x

4

+

1

4x

（x＞1）恒成立．
令h（x）=

3x

4

+

1

4x

，得h′(x)=

1

4

(3-

1

x2

)＞

1

4

(3-1)＞0（x＞1），
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=

3

4

+

1

4

=1，
∴a≤1，故实数a的最大值为1．
（Ⅱ）由题意知x³-2ax²+x≥ax（x＞0）恒成立，即a≤

x2+1

2x+1

（x＞0）恒成立，
令r（x）=

x2+1

2x+1

（x＞0），则r′(x)=

2(x2+x-1)

(2x+1)2

，由r′（x）＜0得0＜x＜

5 -1

2

；由r′（x）＞0得x＞

5 -1

2

，
∴r（x）在（0，

5 -1

2

）上单调递减，在(

5 -1

2

，+∞)上单调递增，∴r(x)min=r(

5 -1

2

)=

5 -1

2

．
∴a≤

5 -1

2

，
故a的取值范围为(-∞，

5 -1

2

)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，对于恒成立问题常转化为最值问题或分离参数后再求最值．