Question

如图，已知点A（4，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合，M为 BC中点．
（Ⅰ）求该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（Ⅱ）求BC所在直线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）将点A（4，8）代入抛物线y²=2px，解得p=8，求出方程及焦点．
（Ⅱ）利用重心的定义，得出M点的坐标为（4，-4），再利用差分法求BC所在直线的方程．
解答：解：（Ⅰ）由点A（4，8），在抛物线y²=2px上解得p=8，
∴抛物线的方程为y²=16x，焦点F的坐标（4，0）
（Ⅱ）∵△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合
由B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）得：
∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=-8，M点的坐标为（4，-4）
由B，C在抛物线y²=16x上，两方程作差y₁²-y₂²=16（x₁-x₂）
∴直线BC的斜率
∴BC所在直线的方程为y+4=-2（x-4），即2x+y-4=0
点评：本题考查抛物线的标准方程，直线方程求解．若知弦中点求弦所在直线方程时常用“差分法”求解．