Question

（1）求抛物线y²=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标．
（2）求经过两点（-7，6

2

），（2

7

，3）的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：（1）求出抛物线焦点为F（3，0），准线方程为x=-3．设所求点为P（m，n），根据题意利用抛物线的定义建立关于m的等式，解出m的值后利用抛物线的方程求出n的值，即可得到满足条件的点P的坐标．
（2）设双曲线的方程为mx²+ny²=1（mn＜0），根据题意建立关于m、n的方程组，解出m、n之值即可得到所求双曲线的标准方程．

解答：解：（1）∵抛物线方程为y²=12x，
∴抛物线的焦点为F（3，0），准线方程为x=-3．
设所求点为P（m，n），
∵P到焦点F的距离为9，P到准线的距离为m+3，
∴根据抛物线的定义，得m+3=9，解得m=6，
将点P（6，n）代入抛物线方程，得n²=12×6=72，解之得n=±6

2

，
∴满足条件的点的坐标为（6，±6

2

）；
（2）设双曲线的方程为mx²+ny²=1（mn＜0），
∵点（-7，6

2

）、（2

7

，3）在双曲线上，
∴

m×(-7)2+n×(6 2 )2=1 m×(2 7 )2+n×32=1

，解得

m= 1 25 n=- 1 75

，
由此可得所求双曲线的标准方程为

x2

25

-

y2

75

=1．

点评：本题求抛物线上满足指定条件的点P的坐标，并求经过两个定点的双曲线方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、双曲线的标准方程求法等知识，属于基础题．