题目内容
已知函数f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当n∈N+时，证明：（1+
）（1+
+）（1+
）…（1+
）＜e．其中（e≈2.718…即自然对数的底数）
【答案】分析：（1）求f（x）的导数，得
，再讨论导数的正负，可得f（x）的单调增区间为
，f（x）的单调减区间为
；
（2）根据函数单调性与导数之间的关系，可得
在区间（1，+∞）上恒成立，结合x＞1加以讨论可得实数a的取值范围为[1，+∞）；
（3）由（2）知：当a=1时f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得
在（1，+∞）上成立，由此令x=1+
得ln（1+
）＜
，分别取n=1，2，3，…，n将得到的式子相加，再结合对数的运算法则即可证出（1+
）（1+
+）（1+
）…（1+
）＜e，对任意的n∈N*成立．
解答：解：（1）f（x）定义域为（0，+∞）…（1分）
求导数，得
…（2分）
令
当
时，f′（x）＞0；当
时，f′（x）＜0…（3分）
∴f（x）的单调增区间为
，f（x）的单调减区间为
，…（4分）
因此，f（x）的极大值为
，无极小值…（5分）
（2）∵函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，
∴
在区间（1，+∞）上恒成立．（7分）
∵x＞1，可得
∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）…（9分）
（3）由（2）得当a=1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
，可得
…（10分）
令x=1+
，可得ln（1+
）＜
…（11分）
分别取n=1，2，3，…，n得
ln（1+
）+ln（1+
）+ln（1+
）+…+ln（1+
）＜
+
+
+…+
=1-
＜1…（13分）
即ln[（1+
）（1+
）（1+
）…（1+
）]＜lne
可得（1+
）（1+
+）（1+
）…（1+
）＜e，对任意的n∈N*成立．
点评：本题求函数的单调区间与极值，并依此证明不等式恒成立．着重考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的极值和不等式恒成立的证明等知识，属于中档题．
，再讨论导数的正负，可得f（x）的单调增区间为
，f（x）的单调减区间为
；（2）根据函数单调性与导数之间的关系，可得
在区间（1，+∞）上恒成立，结合x＞1加以讨论可得实数a的取值范围为[1，+∞）；（3）由（2）知：当a=1时f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得
在（1，+∞）上成立，由此令x=1+
得ln（1+
）＜
，分别取n=1，2，3，…，n将得到的式子相加，再结合对数的运算法则即可证出（1+
）（1+
+）（1+
）…（1+
）＜e，对任意的n∈N*成立．解答：解：（1）f（x）定义域为（0，+∞）…（1分）
求导数，得
…（2分）令
当
时，f′（x）＞0；当
时，f′（x）＜0…（3分）∴f（x）的单调增区间为
，f（x）的单调减区间为
，…（4分）因此，f（x）的极大值为
，无极小值…（5分）（2）∵函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，
∴
在区间（1，+∞）上恒成立．（7分）∵x＞1，可得
∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）…（9分）
（3）由（2）得当a=1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
，可得
…（10分）令x=1+
，可得ln（1+
）＜
…（11分）分别取n=1，2，3，…，n得
ln（1+
）+ln（1+
）+ln（1+
）+…+ln（1+
）＜
+
+
+…+
=1-
＜1…（13分）即ln[（1+
）（1+
）（1+
）…（1+
）]＜lne可得（1+
）（1+
+）（1+
）…（1+
）＜e，对任意的n∈N*成立．点评：本题求函数的单调区间与极值，并依此证明不等式恒成立．着重考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的极值和不等式恒成立的证明等知识，属于中档题．
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