Question

（2012•盐城三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量

m

=(b，a-2c)，

n

=(cosA-2cosC，cosB)，且

m

⊥

n

．
（1）求

sinC

sinA

的值；
（2）若a=2，|m|=3

5

，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）由

m

⊥

n

可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
法一：根据正弦定理可得，sinBcosA-2sinBcosC+sinAcosB-2sinCcosB
法二：根据余弦定理可得，b×

b2+c2-a2

2bc

+a×

a2+c2-b2

2ac

-2b×

a2+b2-c2

2ab

-2c×

a2+c2-b2

2ac

=0
化简可得

c

a

，然后根据正弦定理可求

sinC

sinA

=

c

a

（2）由（1）c=2a可求c，由|

m

|可求b，结合余弦定理可求cosA，利用同角平方关系可求sinA，代入三角形的面积公式S=

1

2

bcsinA可求

解答：解：（1）法一：由

m

⊥

n

可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
根据正弦定理可得，sinBcosA-2sinBcosC+sinAcosB-2sinCcosB=0
∴（sinBcosA-sinAcosB）-2（sinBcosC+sinCcosB）=0
∴sin（A+B）-2sin（B+C）=0
∵A+B+C=π
∴sinC-2sinA=0
∴

sinC

sinA

=2
（法二）：由

m

⊥

n

可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
根据余弦定理可得，b×

b2+c2-a2

2bc

+a×

a2+c2-b2

2ac

-2b×

a2+b2-c2

2ab

-2c×

a2+c2-b2

2ac

=0
整理可得，c-2a=0
∴

sinC

sinA

=

c

a

=2
（2）∵a=2，|m|=3

5

由（1）可知c=2a=4

b2+(a-2c)2

=3

5

∴b=3
∴cosA=

32+42-22

2×3×4

=

7

8

，sinA=

1-( 7 8 )2

=

15

8

∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×4×

15

8

=

3 15

4

点评：本题以向量的坐标运算为载体主要考查了正弦定理及余弦定理在三角形求解中的应用，属于三角知识的综合应用