Question

已知三棱锥A-BCD及其三视图如图所示．
（1）求三棱锥A-BCD的体积；
（2）点D到平面ABC的距离；
（3）求二面角 B-AC-D的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由三视图即可得出：AD⊥底面CBD，AD=2，底面△BCD为等腰直角三角形，∠CBD=90°，BC=BD=1，即可求出体积；
（2）过D点作DE⊥AB交AB于E，根据条件只要证明：DE即为点D到平面ABC的距离，进而求出即可．
（3）过点D作DF⊥AC交AC于点F，连接EF，证明∠DFE即为二面角的平面角并求出即可．

解答：解：（1）由三视图可知：AD⊥底面CBD，AD=2，底面△BCD为等腰直角三角形，∠CBD=90°，BC=BD=1．
∴V_{三棱锥A-BCD}=

1

3

S△BCD×AD=

1

3

×

1

2

×12×2=

1

3

；
（2）过D点D作DE⊥AB交AB于E，
由（1）可知：AD⊥平面BCD，∴AD⊥BC，
又BC⊥BD，AD∩BD=D，
∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．
∴DE即为点D到平面ABC的距离．
在Rt△ABD中，DE=

AD•DB

AB

=

2×1

22+12

=

2 5

5

．
（3）过点D作DF⊥AC交AC于点F，连接EF．
由（1）可知：DE⊥平面ABC．
∴DF⊥AC．
则∠DFE即为二面角的平面角．
在Rt△ADC中，由勾股定理可得AC=

22+( 2 )2

=

6

．
∴DF=

AD•DC

AC

=

2× 2

6

=

2 3

3

．
在Rt△DEF中，sin∠DFE=

DE

DF

=

2 5 5

2 3 3

=

15

5

．

点评：由三视图正确得到原几何体的位置关系，熟练掌握线面垂直的判定和性质定理及二面角的求法是解题的关键．