题目内容
已知数列{an}，an＞0，且3(
+
+…+
)=(2n+1)(a1+a2+…+an)．
（1）求a1，a2，a3；
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
| a | 21 |
| a | 22 |
| a | 2n |
（1）求a1，a2，a3；
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
（1）a1=1，a2=2，a3=3，猜想an=n．
（2）假设n≤k成立，即ak=k，
下证n=k+1时，
3(
+
+…+
+
)=3(
+
+…+
)+3
=(2k+1) •
+3
=(2k+3)[
+ak+1]
∴由3
-(2k+3)ak+1-k(k+1)=0，
解得ak+1=k+1
综上，an=n（n∈N*），
（2）假设n≤k成立，即ak=k，
下证n=k+1时，
3(
| a | 21 |
| a | 22 |
| a | 2k |
| a | 2k+1 |
| a | 21 |
| a | 22 |
| a | 2k |
| a | 2k+1 |
| k(k+1) |
| 2 |
| a | 2k+1 |
=(2k+3)[
| k(k+1) |
| 2 |
∴由3
| a | 2k+1 |
解得ak+1=k+1
综上，an=n（n∈N*），
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,
,
,…,
,…,其中a是大于零的常数,记{an}的前n项和为Sn,计算S1,S2,S3的值,由此推出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.