Question

如图，已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的高分别为1和2，AB=4.

(1)证明PQ⊥平面ABCD;

(2)求异面直线AQ与PB所成的角;

(3)求点P到平面QAD的距离.

Answer 1

（1）证明：连结AC、BD，设AC∩BD=O.?

因为P—ABCD与Q—ABCD都是正四棱锥，?

所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD?

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.

(2)解：由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

由（1）,PQ⊥平面ABCD,故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如下图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（2，0，0），Q（0，0，-2），B（0，2，0）.?

所以=（-2，0，-2），=（0，2，-1），?

于是cos〈,〉==.?

从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.

（3）解：由（2）,点D的坐标是（0，-2，0），?

=（-2，-2，0），=（0，0，-3）.

设n=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量，由?

得

取x=1,得n=(1,-1,- ).?

所以点P到平面QAD的距离?

d==.