Question

已知函数f（x）=（x²-x-

1

a

）e^ax（a≠0）．
（1）曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为

 

（2）当a＞0时，若不等式f（x）+

3

a

≥0对x∈[-

3

a

，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：（1）利用函数在切点处的导数值是切线的斜率，求出导函数，令x=0求出斜率，利用点斜式求出直线方程．
（2）构造新函数g（x），求出其导函数，讨论导函数的符号，求出g（x）的最小值，最小值大于等于0，求出a的范围．

解答：解：（1）f′（x）=(2x-1)eax+a(x2-x-

1

a

)eax
∴f′（0）=-2
将x=0代入f（x）得f（0）=-

1

a

所以曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为 2x+y+

1

a

=0
（2）f(x)+

3

a

≥0对x∈[-

3

a

，+∞)恒成立
即(x2-x-

1

a

)eax+

3

a

≥0对x∈[-

3

a

，+∞)恒成立
令g（x）=(x2-x-

1

a

)eax+

3

a

   x∈[-

3

a

，+∞)
∵g′(x)=(2x-1)eax+a(x2-x-

1

a

)eax
=（ax²+2x-ax-2）e^ax
=（ax+2）（x-1）e^ax
令g′(x)=0得x=-

2

a

，  x=1
x∈(-

3

a

，-

2

a

)时，g′(x)＞0；x∈(-

2

a

，1)时，g′(x)＜0；x∈(-

2

a

，+∞)时，g′(x)＞0
当x=1时，g（1）=-

1

a

ea+

3

a

；当x=-

3

a

时，g(-

3

a

)=(

9

a2

+

2

a

)e-3+

3

a

＞g（1）
故g（x）的最小值为-

1

a

ea+

3

a

∴-

1

a

ea+

3

a

≥0解得0＜x≤ln3
故答案为（0，ln3]

点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率、考查利用导数求函数的最值、考查解决不等式恒成立转化为求函数的最值．