Question

已知函数是函数f（x）的导函数，其中实数a是不等1的常数．
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）设a＞1，若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围；
（3）若a＞-1，求函数|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值M（a）的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=0时，求导，分析导函数的符号即可求得结果；（2）求得，分析导函数的符号，求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）有三个零点，因此得到函数的极大值大于零，极小值小于零，解此不等式组即可求得结论；（3）分类讨论，根据函数|g（x）|在区间[-1，1]内单调性即可求得其的最大值．
解答：（1）f′（x）=x（x-1），
∴函数f（x）在（-∞，0）及（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减；
（2）f′（x）=（x-a）（x-1），
由f（1）=a-＞0，f（a）=-+＜0，
解得a＞3；
（3）①当a＞1时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是g（-1）=2a+2
②当-1＜a＜1时，，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是
max{g（-1），|g（）|}=max{2a+2，}
解不等式2a+2-＞0，得5-4a
∴当-1＜a＜5-4时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是，
当5-4≤a＜1时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是2a+2．
综上M（a）=．
点评：掌握导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题，考查了计算能力和分析解决问题的能力，体现了分类讨论的思想，是难题．