Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（ I）求的值；
（II）求tan（A-B）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，
（1）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．
（2）由（1）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A-B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A-B）的最大值．
解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，，
由正弦定理得

即sinAcosB=4cosAsinB，
则；
（Ⅱ）由得
tanA=4tanB＞0

当且仅当时，等号成立，
故当时，
tan（A-B）的最大值为．
点评：在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．