Question

【题目】在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．

（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；

（Ⅱ）求二面角C-DF-E的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)∴四边形是平行四边形∴∴平面(Ⅱ)

【解析】

试题（Ⅰ）利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等；（Ⅱ）1．使用空间向量求解空间角的关键是建立空间直角坐标系后，将空间角转化为向量的运算，然后借助于直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何中的计算问题．在角的问题中，线面角和二面角是重点．2．注意角的范围，如异面直线所成角的范围是，线面角的范围是，二面角的范围是.

试题解析：（Ⅰ）证明：∵，∴.

又∵，是的中点，

∴，

∴四边形是平行四边形，∴. 2分

∵平面，平面， ∴平面. 4分

（Ⅱ）解∵平面，平面，平面，

∴，，

又，∴两两垂直.

以点E为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系. 6分

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2）． 7分

由已知得是平面的法向量. 8分

设平面的法向量为，

∵，

∴，即，令,得. 10分

设二面角的大小为，由图知为钝角，

∴，

∴二面角的余弦值为12分