Question

7．已知以点$C（t，\frac{2}{t}）（t∈R且t≠0）$为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求证：△AOB的面积为定值．
（2）设直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．
（3）当t＞0时，在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）推导出圆的方程为x²-2tx+y²-$\frac{4}{t}y$=0．与坐标轴的交点分别为：A（2t，0），B（0，$\frac{4}{t}$）．由此能证明S_△OAB=4，为定值．
（2）由|OM|=|ON|，得原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，从而求出t=±2，由此能求出圆C的方程．
（3）圆心C（2，1），半径r=$\sqrt{5}$，点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，由此能求出|PB|+|PQ|的最小值和点P坐标．

解答 证明：（1）由题意可得：圆的方程为：（x-t）²+（y-$\frac{2}{t}$）²=t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$，化为：x²-2tx+y²-$\frac{4}{t}y$=0．
与坐标轴的交点分别为：A（2t，0），B（0，$\frac{4}{t}$）．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×|2t|×|\frac{4}{t}|$=4，为定值．
解：（2）∵|OM|=|ON|，∴原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，
则C，H，O三点共线，
OC的斜率k=$\frac{\frac{2}{t}}{t}$=$\frac{2}{{t}^{2}}$，∴$\frac{2}{{t}^{2}}$×（-2）=-1，解得t=±2，
可得圆心C（2，1），或（-2，-1）．
∴圆C的方程为：（x-2）²+（y-1）²=5，或（x+2）²+（y+1）²=5．
（3）由（2）可知：圆心C（2，1），半径r=$\sqrt{5}$，点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），
则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=$\sqrt{（-6）^{2}+（-3）^{2}}$-$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
则|PB|+|PQ|的最小值为2$\sqrt{5}$．
直线B′C的方程为：y=$\frac{1}{2}$x，此时点P为直线B′C与直线l的交点，
故所求的点P（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查三角形面积为定值的证明，考查圆的方程的求法，考查两线段落和的最小值及点的坐标的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．