Question

已知函数f(x)=

7x+5

x+1

，数列{a_n}满足：2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0且a_n≠0．数列{b_n}中，b₁=f（0）且b_n=f（a_n-1）
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；（2）求数列{|b_n|}的前n项和T_n；
（3）是否存在自然数n，使得（2）中的T_n∈（480，510）．若存在，求出所有的n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，由此能够证明数列{

1

an

}是等差数列．
（2）由b₁=f（0）=5，知

7(a1-1)+5

a1-1+1

=5，7a₁-2=5a₁，所以a₁=1，

1

an

=1+(n-1)

1

2

，所以 an=

2

n+1

.bn=

7an-2

an

=7-(n+1)=6-n．由此能求出T_n．
（3）不存在这样的自然数．如果存在必定n＞7，而在n＞7时T_n是递增的，而n=36时，T_n=480，n=37时，T_n=511，所以不存在这样的自然数．

解答：解：（1）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，
得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
所以，数列{

1

an

}是等差数列．
（2）∵b₁=f（0）=5，
∴

7(a1-1)+5

a1-1+1

=5，
7a₁-2=5a₁，
∴a₁=1，

1

an

=1+(n-1)

1

2

，
∴an=

2

n+1

.bn=

7an-2

an

=7-(n+1)=6-n．
当n≤6时，Tn=

n

2

(5+6-n)=

n(11-n)

2

，
当n≥7时，Tn=15+

n-6

2

(1+n-6)=

n2-11n+60

2

．
所以，Tn=

n(11-n) 2 ，n≤6 n2-11n+60 2 ，n≥7

（3）不存在这样的自然数．
如果存在必定n＞7，
而在n＞7时T_n是递增的，
而n=36时，
T_n=480，
n=37时，T_n=511，
所以不存在这样的自然数．

点评：本题数列的性质和应用，数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的递推式的合理运用．