题目内容
已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为
，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x，y）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．
【答案】分析：（1）利用焦点到直线l：x-y-2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；
（2）先设
，
，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；
（3）根据抛物线的定义，有
，
，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x，x1x2=4y，x=y+2，将它表示成关于y的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．
解答：解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离
，解得c=1
所以抛物线C的方程为x2=4y
（2）设
，
由（1）得抛物线C的方程为
，
，所以切线PA，PB的斜率分别为
，
所以PA：
①PB：
②
联立①②可得点P的坐标为
，即
，
又因为切线PA的斜率为
，整理得
直线AB的斜率
所以直线AB的方程为
整理得
，即
因为点P（x，y）为直线l：x-y-2=0上的点，所以x-y-2=0，即y=x-2
所以直线AB的方程为
（3）根据抛物线的定义，有
，
所以
=
由（2）得x1+x2=2x，x1x2=4y，x=y+2
所以
=
所以当
时，|AF|•|BF|的最小值为
点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．
（2）先设
，
，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有
，
，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x，x1x2=4y，x=y+2，将它表示成关于y的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．解答：解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离
，解得c=1所以抛物线C的方程为x2=4y
（2）设
，
由（1）得抛物线C的方程为
，
，所以切线PA，PB的斜率分别为
，
所以PA：
①PB：
②联立①②可得点P的坐标为
，即
，
又因为切线PA的斜率为
，整理得
直线AB的斜率
所以直线AB的方程为
整理得
，即
因为点P（x，y）为直线l：x-y-2=0上的点，所以x-y-2=0，即y=x-2
所以直线AB的方程为
（3）根据抛物线的定义，有
，
所以
=
由（2）得x1+x2=2x，x1x2=4y，x=y+2
所以
=
所以当
时，|AF|•|BF|的最小值为
点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．
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