Question

3．对于向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$下列命题中：①若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$；②不等式|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|的充要条件是$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线；③若非零向量$\overrightarrow{c}$垂直于不共线的向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$（λ、μ∈R，且λμ≠0），则$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$．
正确命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①若$\overrightarrow{b}$不是零向量，可推出$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$；
②不等式|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|的充要条件是$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不同向；
③利用数量积的性质可得$\overrightarrow{c}$$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{c}$（λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$）=λ$\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{c}$+μ$\overrightarrow{b}$$\overrightarrow{c}$=0，可得$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$．

解答 解①若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{c}$，若$\overrightarrow{b}$不是零向量，可推出$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，故错误；
②不等式|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|的充要条件是$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不同向，故错误；
③若非零向量$\overrightarrow{c}$垂直于不共线的向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$（λ、μ∈R，且λμ≠0），则$\overrightarrow{c}$$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{c}$（λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$）=λ$\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{c}$+μ$\overrightarrow{b}$$\overrightarrow{c}$=0，可得$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，故正确．
故选B．

点评 考查了向量的共线，向量的模长，数量积的性质，注意零向量的特殊情况．