Question

对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]=1，[-2.1]=-3．定义在R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0＜x＜1}，则A中元素的最大值与最小值之和为（　　）

• A、11
• B、12
• C、14
• D、15

Answer 1

分析：由新定义和分类讨论的思想，可得A中的所有元素，可得最大值和最小值，相加可得．

解答：解：∵[x]表示不超过x的最大整数，A={y|y=f（x），0＜x＜1}，
当0＜x＜

1

8

时，0＜2x＜

1

4

，0＜4x＜

1

2

，0＜8x＜1，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+0=0；
当

1

8

≤x＜

1

4

时，

1

4

≤2x＜

1

2

，

1

2

≤4x＜1，1≤8x＜2，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+1=1；
当

1

4

≤x＜

3

8

时，

1

2

≤2x＜

3

4

，1≤4x＜

3

2

，2≤8x＜3，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1=2=3；
当

3

8

≤x＜

1

2

时，

3

4

≤2x＜1，

3

2

≤4x＜2，3≤8x＜4，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+3=4；
当

1

2

≤x＜

5

8

时，1≤2x＜

5

4

，2≤4x＜

5

2

，4≤8x＜5，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+4=7；
当

5

8

≤x＜

3

4

时，

5

4

≤2x＜

3

2

，

5

2

≤4x＜3，5≤8x＜6，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+5=8；
当

3

4

≤x＜

7

8

时，

3

2

≤2x＜

7

4

，3≤4x＜

7

2

，6≤8x＜7，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+6=10；
当

7

8

≤x＜1时，

7

4

≤2x＜2，

7

2

≤4x＜4，7≤8x＜8，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+7=11；
∴A中所有的元素为：0，1，3，4，7，8，10，11；
∴A中元素的最大值与最小值之和为：0+11=11
故选：A

点评：本题考查函数的值域，涉及新定义和分类讨论的思想，属中档题．