Question

对于任意实数x，y，定义：F(x，y)=

1

2

(x+y+|x-y|)，如果函数f（x）=x²，g（x）=x，h（x）=-x+2，那么满足F（F（f（x），g（x）），F（g（x），h（x））≥2的x的集合是

{x|x≤0或x≥

2

}

．

Answer 1

分析：先把定义F(x，y)=

1

2

(x+y+|x-y|)，转化为

x               x≥y y                x＜y

；再把所求不等式转化即可求出结论．

解答：解：因为：F(x，y)=

1

2

(x+y+|x-y|)=

x               x≥y y                x＜y

；
∴F（f（x），g（x））=

x2       x≥1，x≤0 x         0＜x＜1

；
F（g（x），h（x））=

x           x≥1 -x+2      x＜1

．
而x²=-x+2⇒x=1或x=-2．
∴F（F（f（x），g（x）），F（g（x），h（x））=

x2        x≥1，x≤-2 -x+2      -2＜x＜1

；
当x≥1或x≤-2时，F（F（f（x），g（x）），F（g（x），h（x））≥2转化为x²≥2⇒x≥

2

或x≤-

2

；
故x≥

2

或x≤-2；
当-2＜x＜1时，F（F（f（x），g（x）），F（g（x），h（x））≥2转化为：-x+2≥2⇒x≤0，
故-2＜x≤0；
综上：F（F（f（x），g（x）），F（g（x），h（x））≥2的解集为：{x|x≤0或x≥

2

}．
故答案为：{x|x≤0或x≥

2

}．

点评：本题主要在新定义下考查一元二次不等式的解法．解决本题的关键在于把新定义转化．