Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点
（1）求证：PA⊥平面CDM；
（2）点N在棱PA上，且，求四面体N-MCD的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）作PO⊥CD于O，连接OA由侧面PDC与底面ABCD垂直，根据面面垂直的性质可知PO⊥面ABCD，则PO⊥CD，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，根据三边满足勾股定理则OA⊥CD，从而CD⊥面POA，则CD⊥PA，取PA中点N，连接ON，MN，由M为PB中点，则MNOC为平行四边形，所以CM‖ON，又在三角形POA中，N为PA中点，所以ON⊥PA，而CM⊥PA，CM∩DC=C，根据线面垂直的判定定理知PA⊥面CDM；
（2）先求出CM，DM的长，从而DM²=CM²+CD²根据三边满足勾股定理得CM⊥CD，求出三角形CDM的面积，又因为PA⊥面CDM，根据三棱锥的体积公式求出体积即可．
解答：证明：（1）作PO⊥CD于O，连接OA由侧面PDC与底面ABCD垂直，则PO⊥面ABCD
所以PO⊥CD，
又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，
则∠DOA=90°，即OA⊥CD
所以CD⊥面POA，所以CD⊥PA，（2分）
取PA中点N，连接ON，MN，由M为PB中点，
则MNOC为平行四边形，所以CM‖ON，
又在三角形POA中，N为PA中点，
所以ON⊥PA，所以CM⊥PA，（5分）
有由CM∩DC=C，所以PA⊥面CDM（6分）
（2），
又，∴DM²=CM²+CD²∴CM⊥CD
∴
又因为PA⊥面CDM，．
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及四面体体积的计算，同时考查了空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法，属于中档题．