Question

设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x₁，x₂都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，则f（x）称为I上的凹函数．
（1）判断f(x)=

3

x

(x＞0)是否为凹函数？
（2）已知函数f₂（x）=x|ax-3|（a≠0）为区间[3，6]上的凹函数，请直接写出实数a的取值范围（不要求写出解题过程）；
（3）设定义在R上的函数f₃（x）满足对于任意实数x，y都有f₃（x+y）=f₃（x）•f₃（y）．求证：f₃（x）为R上的凹函数．

Answer 1

分析：（1）因为

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

(

3

x1

+

3

x2

)，所以利用均值定理即可得证
（2）利用凹函数的图象性质及函数f₂（x）=x|ax-3|的图象特点，可得a的取值范围
（3）因为f3(x1)+f3(x2)=f3(

x1

2

+

x1

2

)+f3(

x2

2

+

x2

2

)，利用已知抽象表达式，结合均值定理即可证明f₃（x）为R上的凹函数

解答：解：（1）f（x）是凹函数，证明如下：
?x₁，x₂∈（0，+∞），∵

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

(

3

x1

+

3

x2

)≥

3

x1x2

≥

3

x1+x2 2

=f(

x1+x2

2

)
∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]，
∴f(x)=

3

x

(x＞0)是凹函数
（2）∵函数f₂（x）=x|ax-3|=

ax2-3x    ax≥3 -ax2+3x  ax＜3

结合二次函数的图象，要想使函数f₂（x）为区间[3，6]上的凹函数，需a＜0或

a＞0 3 a ≤3

∴a的取值范围为（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）证明：设?x₁，x₂∈R
f3(x1)+f3(x2)=f3(

x1

2

+

x1

2

)+f3(

x2

2

+

x2

2

)
=f32(

x1

2

)+f32(

x2

2

)≥2f3(

x1

2

)•f3(

x2

2

)=2f3(

x1+x2

2

)
即

f3(x1)+f3(x2)

2

≥f3(

x1+x2

2

)
故f₃（x）为R上的凹函数

点评：本题考查了抽象函数表达式的意义和作用，代数变形和逻辑推理能力，数形结合的思想方法