题目内容
设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有
成立，则f（x）称为I上的凹函数．
（1）判断
是否为凹函数？
（2）已知函数f2（x）=x|ax-3|（a≠0）为区间[3，6]上的凹函数，请直接写出实数a的取值范围（不要求写出解题过程）；
（3）设定义在R上的函数f3（x）满足对于任意实数x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求证：f3（x）为R上的凹函数．
解：（1）f（x）是凹函数，证明如下：
?x1，x2∈（0，+∞），∵
=
=
∴，
∴是凹函数
（2）∵函数f2（x）=x|ax-3|=
结合二次函数的图象，要想使函数f2（x）为区间[3，6]上的凹函数，需a＜0或
∴a的取值范围为（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）证明：设?x1，x2∈R
=
即
≥
故f3（x）为R上的凹函数
分析：（1）因为=，所以利用均值定理即可得证
（2）利用凹函数的图象性质及函数f2（x）=x|ax-3|的图象特点，可得a的取值范围
（3）因为，利用已知抽象表达式，结合均值定理即可证明f3（x）为R上的凹函数
点评：本题考查了抽象函数表达式的意义和作用，代数变形和逻辑推理能力，数形结合的思想方法
?x1，x2∈（0，+∞），∵
==∴
，∴
是凹函数（2）∵函数f2（x）=x|ax-3|=
结合二次函数的图象，要想使函数f2（x）为区间[3，6]上的凹函数，需a＜0或
∴a的取值范围为（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）证明：设?x1，x2∈R
=
即
≥故f3（x）为R上的凹函数
分析：（1）因为
=，所以利用均值定理即可得证（2）利用凹函数的图象性质及函数f2（x）=x|ax-3|的图象特点，可得a的取值范围
（3）因为
，利用已知抽象表达式，结合均值定理即可证明f3（x）为R上的凹函数点评：本题考查了抽象函数表达式的意义和作用，代数变形和逻辑推理能力，数形结合的思想方法
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