Question

如图，长方体ABCD-A1

B

1

C1D1中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）证明：BD₁∥平面A₁DE
（2）证明：D₁E⊥A₁D
（3）求二面角D₁-EC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）连结AD₁交A₁D于O，连结EO，由三角形中位线定理，可得OE∥BD₁，进而可由线面平行的判定定理，可得BD₁∥平面A₁DE
（2）根据正方形的几何特征，可得A₁D⊥AD₁，由AB⊥平面ADD₁A₁结合线面垂直的性质可得AB⊥AD₁，进而由线面垂直的判定定理可得A₁D⊥平面AD₁E，再由线面垂直的性质可得D₁E⊥A₁D
（3）由勾股定理可得CE⊥DE，进而由线面垂直的性质可得CE⊥D₁D，由线面垂直的判定定理得到CE⊥平面D₁DE，结合D₁E⊥平面D₁DE，可得∠D₁ED是二面角D₁-ED-D的一个平面角．解三角形△D₁ED可得二面角D₁-ED-D的正切值．

解答：证明：（1）连结AD₁交A₁D于O，连结EO，
则O为AD₁的中点，又因为E是AB的中点，
所以OE∥BD₁．
又∵OE⊆平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE
∴BD₁∥平面A₁DE  …（4分）
（2）由题可知：四边形ADD₁A₁是正方形
∴A₁D⊥AD₁  
又∵AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D⊆平面ADD₁A₁
∴AB⊥AD₁  
又∵AB⊆平面AD₁E，AD₁⊆平面A D₁E，AB∩AD₁=A
∴A₁D⊥平面AD₁E
又∵D₁E⊆平面AD₁E
∴A₁D⊥D₁E  …（8分）
解：（3）在△CED中，CD=2，DE=

AD2+AE2

=

2

，CE=

CB2+BE2

=

2

CD²=CE²+DE²
∴CE⊥DE．
又∵D₁D⊥平面ABCD，CE⊆平面ABCD
∴CE⊥D₁D
又∵D₁D⊆平面D₁DE，DE⊆平面D₁DE，D₁D∩DE=D
∴CE⊥平面D₁DE
又∵D₁E⊥平面D₁DE，
∴CE⊥D₁E．
∴∠D₁ED是二面角D₁-ED-D的一个平面角．
在△D₁ED中，∠D₁DE=90°，D₁D=1，DE=

2

∴tan∠D1ED=

D1D

DE

=

1

2

=

2

2

∴二面角D₁-ED-D的正切值是

2

2

…（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，解答（1）（2）的关键是熟练掌握空间线面关系判定的判定定理，性质和几何特征，解答（3）的关键是判断出∠D₁ED是二面角D₁-ED-D的一个平面角．