Question

点P是双曲线

x2

4

-y2=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+

5

)2+y2=1和圆(x-

5

)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值是

2+2

5

．

Answer 1

分析：先求出双曲线的两个焦点，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F₁三点共线以及P与N、F₂三点共线时所求的值最大，利用双曲线的定义分别求得|PM|和|PN|，进而可求得此时|PM|-|PN|的值．

解答：解：双曲线

x2

4

-y2中，如图：
∵a=2，b=1，c=

a2+b2

=

5

，
∴F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0），
∴|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，…①
∵|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，
可得-|PN|≤-|PF₂|+|NF₂|，…②
∴①②相加，得
|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|+|NF₂|
=（|PF₁|-|PF₂|）+|MF₁|+|NF₂|
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=2

5

，|MF₁|=|NF₂|=1
∴|PM|-|PN|≤2

5

+1+1=2+2

5

故答案为：2+2

5

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质和双曲线与圆的关系，属于中档题．着重考查了学生对双曲线定义的理解和应用，以及对几何图形的认识能力．