Question

(08年东城区统一练习一理)（14分）

如图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁，直线B₁C与平面ABC成30°角.

   （I）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；

   （II）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值；

   （III）求二面角B―B₁C―A的大小.

Answer 1

解析：解法一：

   （I）证明：由直三棱柱性质，B₁B⊥平面ABC，

∴B₁B⊥AC，

又BA⊥AC，B₁B∩BA=B，

∴AC⊥平面 ABB₁A₁，

又AC平面B₁AC，

∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁.                                                               …………4分

  

（II）解：过A₁做A₁M⊥B₁A₁，垂足为M，连结CM，

∵平面B₁AC⊥平面ABB₁A，且平面B₁AC∩平面ABB₁A₁=B₁A，

∴A₁M⊥平面B₁AC.

∴∠A₁CM为直线A₁C与平面B₁AC所成的角，

∵直线B₁C与平面ABC成30°角，

∴∠B₁CB=30°.

设AB=BB₁=a，可得B₁C=2a，BC=，

∴直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值为                                …………9分

   （III）解：过A做AN⊥BC，垂足为N，过N做NO⊥B₁C，垂足为O，连结AO，

由AN⊥BC，可得AN⊥平面BCC₁B₁，由三垂线定理，可知AO⊥B₁C，

∴∠AON为二面角B―B₁C―A的平面角，

∴二面角B―B₁C―A的大小为                                         …………14分

解法二：

   （I）证明：同解法一. …………4分

   （II）解：建立如图的空间直角坐标系A―xyz，

∵直线B₁C与平面ABC成30°角，

∴∠B₁CB=30°.

设AB=B₁B=1，

∴直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值为                                …………9分

   （III）解：设为平面BCC₁B₁的一个法向量，

∴二面角B―B₁C―A的大小为                                         …………14分