Question

设a为实数，函数f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）设t=

1+x

+

1-x

，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；
（3）求g（a）．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域即使函数有意义的自变量的取值范围，根据偶次方根被开方数不小于零，列不等式组，解不等式组即可
（2）由t=

1+x

+

1-x

平方得t2=2+2

1-x2

．∴

1-x2

=

1

2

t2-1，从而将函数f（x）换元为h（t），而h（t）的定义域即t=

1+x

+

1-x

的值域，平方后求其值域即可
（3）由（2）知，可用换元法求函数的值域，函数h（t）为含参数的二次函数，其值域与a的取值有关，通过讨论对称轴的位置可得最大值关于a的函数g（a）．

解答：解：（1）由题意得

1-x2≥0 1+x≥0 1-x≥0

⇒

-1≤x≤1 x≥-1 x≥1

⇒-1≤x≤1，∴函数f（x）的定义域为[-1，1]．
（2）由t=

1+x

+

1-x

平方得t2=2+2

1-x2

．
由x∈[-1，1]得，t²∈[2，4]，所以t的取值范围是[

2

，2]．
又

1-x2

=

1

2

t2-1，∴h(t)=a(

1

2

t2-1)+t．即h(t)=

1

2

at2+t-a，定义域为[

2

，2]．
（3）由题意知g（a）即为函数h(t)=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直线t=-

1

a

是抛物线h(t)=

1

2

at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论：
①当a＞0时，函数y=h(t)，t∈[

2

，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-

1

a

＜0知y=h（t）在[

2

，2]上单调递增，∴g（a）=h（2）=a+2．
②当a=0时，h（t）=t，t∈[

2

，2]，∴g（a）=h（2）=2．
③当a＜0时，函数y=h(t)，t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，t=-

1

a

＞0．
a若t=-

1

a

∈(0，

2

)，即a＜-

2

2

时，则g(a)=h(

2

)=

2

；
b若t=-

1

a

∈[

2

，2]，即-

2

2

≤a≤-

1

2

时，则g(a)=h(-

1

a

)=-a-

1

2a

；
c若t=-

1

a

∈(2，+∞)，即-

1

2

＜a＜0时，则g（a）=h（2）=a+2；
综上有g(a)=

a+2         a＞- 1 2 -a- 1 2a      - 2 2 ≤a≤- 1 2 2              a＜- 2 2

．

点评：本题考查了求函数定义域的方法以及利用换元法求函数值域的方法，解题时要注意换元后函数的定义域的变化