Question

设动点P（x，y）（x≥0）到定点的距离比到y轴的距离大．记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设圆M过A（1，0），且圆心M在P的轨迹上，BD是圆M 在y轴的截得的弦，当M 运动时弦长BD是否为定值？说明理由；
（Ⅲ）过作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形面GRHS的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由动点P（x，y）（x≥0）到定点的距离比到y轴的距离大，知动点P（x，y）为以为焦点，直线为准线的抛物线，由此能求出点P的轨迹方程．
（2）设圆心，半径，圆的方程为．由此能导出当M运动时弦长BD为定值．
（3）设过F的直线方程为，G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）由，得，由此能求出四边形GRHS的面积的最小值．
解答：解：（1））∵动点P（x，y）（x≥0）到定点的距离比到y轴的距离大，
∴动点P（x，y）为以为焦点，直线为准线的抛物线，
∴点P的轨迹方程为y²=2x．
（2）设圆心，半径，
圆的方程为，
令x=0，得B（0，1+a），D（0，-1+a），
∴BD=2
故弦长BD为定值2．
（3）设过F的直线方程为，
G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由，得，
由韦达定理得，

同理得RS=2+2k²，
∴四边形GRHS的面积．
故四边形面GRHS的最小值为8．
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，探索弦长是否为定值，求四边形面积的最小值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．