Question

【题目】已知奇函数（实数、为常数），且满足．

（1）求函数的解析式；

（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；

（3）当时，函数恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函数在区间上单调递减．证明见解析；（3）．

【解析】

（1）利用奇函数的定义，结合列方程组，解方程组求得的解析式.

（2）函数在区间上单调递减，利用单调性的定义计算得，来证明结论成立.

（3）根据（2）的结论求得的最小值，结合函数恒成立列不等式，解不等式求得的取值范围.

（1）由于函数为奇函数，故，由于，所以，解得，所以.

（2）函数在区间上单调递减.任取，，由于，所以，，所以，所以函数在区间上单调递减.

（3）由（2）值在区间上单调递减，当时，取得最小值为，由于函数恒成立，所以，解得.所以实数的取值范围为.