Question

如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。

（I）求直线AM与平面BCD所成角的大小；
（Ⅱ）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM ⊥CD 又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD 所以MO∥AB A、B、O、M共面 延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角 所以，即 ∴直线AM与平面BCD所成角的大小为45°； （Ⅱ）CE是平面ACM与平面BCD的交线。由（I）知，O是BE的中点，则BCED是菱形 作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC ∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为θ 因为∠BCE=120° 所以∠BCF=60° 所以，所求二面角的正弦值是。