题目内容

已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，
π2
]时，求函数f（x）的最大值，并写出x的相应的取值．
分析：（1）利用两角和差的三角函数化简函数，得到f（x）=1+
2
sin(2x+
π
4
)，由 T=
2π
ω
 求得周期．
 （2）当x∈[0，
π
2
]时，求出2x+
π
4
 的范围，进而得到sin（2x+
π
4
 ）的范围，从而得到函数f（x）的 范围，
从而求得函数f（x）的最大值．
解答：解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+
2
sin(2x+
π
4
)，
故最小正周期为 T=
2π
ω
=
2π
2
=π．
（2）当x∈[0，
π
2
]时，∵0≤x≤
π
2
，∴
π
4
≤2x+
π
4
≤
5π
4
，∴-
2
2
≤sin（2x+
π
4
 ）≤1，
∴0≤1+
2
sin(2x+
π
4
)≤1+
2
，故函数f（x）的最大值为  1+
2
．
此时，2x+
π
4
=
π
2
，x=
π
8
．
点评：本题考查两角和差的三角函数，三角函数的周期的求法，求三角函数的值域，求三角函数的值域是解题的难点．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=f(2x+
π
4
)的图象关于直线x=
π
6
对称，求φ的值．
已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，时f（x）的表达式；
（2）若关于x的方程f（x）-a=o有解，求实数a的范围．
已知函数f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的单调递增区间；（文科可参考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，记函数g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在区间（1，3）上总不单调，求实数m的范围．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2010的值为（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009
已知函数f（x）是定义在区间（-1，1）上的奇函数，且对于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，则实数a的取值范围是
 
．

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