题目内容
数列{an}满足a1=1，an+1=
（n∈N+）．
（Ⅰ）证明：数列{
}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅲ）设bn=n（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．
| 2n+1an |
| an+2n |
（Ⅰ）证明：数列{
| 2n |
| an |
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅲ）设bn=n（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅰ）证明：由已知可得
=
，
即
=
+1，
即
-
=1
∴数列{
}是公差为1的等差数列（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=
+(n-1)×1=n+1，
∴an=
（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=n•2n
Sn=1•2+2•22+3•23++n•2n
2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1（10分）
相减得：-Sn=2+22+23++2n-n•2n+1=
-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1（12分）
∴Sn=（n-1）•2n+1+2
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| an+2n |
即
| 2n+1 |
| an+1 |
| 2n |
| an |
即
| 2n+1 |
| an+1 |
| 2n |
| an |
∴数列{
| 2n |
| an |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
| 2n |
| an |
| 2 |
| a1 |
∴an=
| 2n |
| n+1 |
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=n•2n
Sn=1•2+2•22+3•23++n•2n
2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1（10分）
相减得：-Sn=2+22+23++2n-n•2n+1=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
∴Sn=（n-1）•2n+1+2
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