题目内容

设数列{a_n}满足：a₁=1， $数学公式$ ．令 $数学公式$ ．
（1）求证数列{b_n-3}是等比数列并求数列{b_n}的通项公式；
（2）已知f（n）=6a_n+1-3a_n，求证： $数学公式$ ．

证明：（1）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴2b_n+1=b_n+3，∴2（b_n+1-3）=b_n-3，
∴{b_n-3}是首项为2，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
（2）法一：由（2）得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
法二：同理由 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ ，可得2b_n+1=b_n+3，从而可得{b_n-3}是首项为2，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，由此可求数列{b_n}的通项公式；
（2）法一：先求数列{a_n}的通项公式，利用f（n）=6a_n+1-3a_n，借助于放缩法，即可证得结论；
法二：利用 $\text{[math]}$ ，进行放缩，即可证得结论；
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查不等式的证明，适当放缩是关键．

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（3）设0＜c＜

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．
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（2）设数列a_n满足an=f(

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（Ⅲ）若0＜a_n＜1对任意n∈N^*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）

设数列{a_n}满足：a₁=

（n∈N^*，n≥2）
（1）求证：数列{an-

}为等比数列，并求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

设n∈N^*，不等式组

所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）
（1）求（x_n，y_n）；
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)，(n≥2)，求证：n≥2时，

；
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)与4的大小．