Question

在锐角△ABC中，

3

sinA=cosA+1
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）求cos2B+4cosAsinB的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等式变形后，利用两角和与差的正弦函数公式求出sin（A-

π

6

）的值，根据A的范围求出A的度数即可；
（2）由A的度数求出cosA的值，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，将cosA的值代入再利用二次函数的性质即可求出范围．

解答：解：（1）由题意：

3

sinA-cosA=2sin（A-

π

6

）=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜

π

2

，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

π

3

，
∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

；
（2）由（1）知：cosA=

1

2

，
∴cos2B+4cosAsinB=1-2sin²B+2sinB=-2（sinB-

1

2

）²+

3

2

，
∵△ABC为锐角三角形．
∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B＜

π

2

，
∴

π

6

＜B＜

π

2

，
∴

1

2

＜sinB＜1，
∴1＜cos2B+2sinB＜

3

2

，
则cos2B+4cosAsinB的取值范围为（1，

3

2

）．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，二次函数的性质，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．