Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．

(1)求双曲线方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；

(3)求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

[分析]　由离心率为可看出它是等轴双曲线；从此隐含条件入手，可使运算变得简单．

[解析]　(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x²－y²＝λ(λ≠0)．

∵过(4，－)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，

∴双曲线方程为x²－y²＝6.

(2)证法1：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，

∴c＝2，∴F₁(－2，0)，F₂(2，0)，

∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m²＝6，m²＝3.

故kMF₁·kMF₂＝－1，∴⊥.∴·＝0.

证法2：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，

∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m²＝－3＋m²，

∵M点在双曲线上，∴9－m²＝6，即m²－3＝0，

∴·＝0.

(3)△F₁MF₂的底|F₁F₂|＝4，

△F₁MF₂的高h＝|m|＝，∴S△F₁MF₂＝6.

[点评]　双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a，b，c，e”等，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．