Question

（本题满分20分）
设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件：
（1）任意，有，当时，且；
（2）；
（3），
试求：（1）证明：任意，，都有；
（2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由．（阶乘定义：）

Answer 1

解：（1）当时，，，
若，则得，不可能，舍去 
当时，，得，
若，则，，，，

同理，若，任意，
，都有
（2）
由（1）可得为单调减函数


得


…

相乘得： …① 
又由①式得：

…
，
相加得：，

，，，，，，，，
由于当时，能被25整除
综上，存在正整数，当或时，是25的倍数