Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₇，a₅，a₃，a₆；        
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求证：

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜2．

Answer 1

（1）∵a₁=1，a_n+3=a_n+3，
∴a₄=4，a₇=7
∵a_n+2≥a_n+2
∴a₃≥3，a₅≥a₃+2，a₇≥a₅+2，
∴a₅=5，a₃=3，a₆=a₃+3=6
（2）∵a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）
∴a_n+3≤a_n+2+1（n∈N^*）
∴a_n+1≤a_n+1，a_n+2≤a_n+1+1
∴a_n+1+a_n+2+a_n+3≤a_n+a_n+1+a_n+2+3，即a_n+3≤a_n+3
∴a_n+1=a_n+1，a_n+2=a_n+1+1，a_n+3=a_n+2+1
∴{a_n}为等差数列，公差d=1．
∴a_n=n
（3）证明：n=1时，

1

a12

=1＜2成立n＞1时，
∵

1

an2

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n＞1）
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜2