Question

当x∈[

3

2

，2]时，不等式x3-

1

2

x2-2x＜m恒成立，则实数m的取值范围是

（2，+∞）

．

Answer 1

分析：构造函数f（x）=x³-

1

2

x²-2x，求出f（x）在x∈[

3

2

，2]上的最大值即可．

解答：解：令f（x）=f（x）=x³-

1

2

x²-2x，
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）=0，
解得极值点为x=1或-

2

3

，
当x＞1时，f′（x）＞0，为增函数．
∴当x∈[

3

2

，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2，
∴m＞2，
故答案为（2，+∞）．

点评：此题是一道常见的题型，把函数的最值和不等式的恒成立联系起来出题，对这样的题要注意，用导数求函数的最值．