Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=0， ＜0（x＞0），则不等式xf（x）＜0的解集 ．

Answer 1

【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）
【解析】解：令g（x）= ， ∵x＞0时，g′（x）= ＜0，
∴g（x）在（0，+∞）递减，
∵f（﹣x）=f（x），
∴g（﹣x）= =﹣g（x），
g（x）在（﹣∞，0）递减，
∴g（x）是奇函数，
g（2）= =0，
∴0＜x＜2时，g（x）＞0，x＞2时，g（x）＜0，
根据函数的奇偶性，﹣2＜x＜0时，g（x）＜0，x＜﹣2时，g（x）＞0，
xf（x）＜0，即x2g（x）＜0，即g（x）＜0，
∴x＞2或﹣2＜x＜0，
所以答案是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．