Question

当x＞0时，证明：不等式ln(1+x)＞x-x²成立.

Answer 1

思路分析：欲证x＞0时，ln(1+x)＞x-x²,可以证F(x)=ln(1+x)-(x-x²)＞0易知F(0)=0，因此可以考虑证F(x)在(0,+∞)上是增函数.

证明:设f(x)=ln(1+x),g(x)=x-x²,f′(x)=,g′(x)=1-x,

F(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-(x-x²),F′(x)=f′(x)-g′(x)= -(1-x).当0＜x时，F′(x)=f′(x)-g′(x)=＞0，因此当x＞0时总有F′(x)＞0.∴F(x)在(0,+∞)上是增函数.∴当x＞0时，F(x)＞F(0)=0，即ln(1+x)-(x-x²)＞0.∴ln(1+x)＞x-x².