Question

已知定义在R上恒不为0的函数y=f（x），当x＞0时，满足f（x）＞1，且对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）的值； 
（2）证明f(-x)=-

1

f(x)

； 
（3）证明函数y=f（x） 是R上的增函数．

Answer 1

分析：（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，
（2）观察恒等式发现若令y=-x，则由f（x+y）=f（x）f（y），证明出f（0）=1=f（x）f（-x），则问题迎刃而解；
（3）由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小即可．

解答：解：（1）由题设，令x=y=0，
恒等式可变为f（0+0）=f（0）f（0），
解得f（0）=1，
（2）令y=-x，则 由f（x+y）=f（x）f（y）得
f（0）=1=f（x）f（-x），即得f(-x)=-

1

f(x)

．
（3）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
由题设x＞0时，f（x）＞1，可得f（x₂-x₁）＞1，
f（x₂）=f（x₁）f（x₂-x₁）⇒f（x₂）÷f（x₁）=f（x₂-x₁）＞1，
又f（

1

2

x₁+

1

2

x₁）=f（

1

2

x₁）f（

1

2

x₁）=f ²（

1

2

x₁）≥0⇒f（x₁）≥0，
故有f（x₂）＞f（x₁）
所以 f（x）是R上增函数．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．