Question

如图（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，且BC=CD，AB=2，F、H、G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面CBED，如图（乙）．
（1）求证：平面FHG∥平面ABE；
（2）记BC=x，V（x）表示三棱锥B-ACE的体积，求V（x）的最大值；
（3）当V（x）取得最大值时，求二面角D-AB-C的余弦值．P_n（x_n，y_n）

Answer 1

分析：（1）欲证平面FHG∥平面ABE，只需证明线面平行，故只需要在平面FHG中寻找两条相交直线与平面平行；
（2）由于平面ACD⊥平面CBED 且AC⊥CD，所以AC⊥平面CBED，故可表示三棱锥B-ACE的体积，利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件；
（3）求解二面角D-AB-C的余弦值，建立空间直角坐标系，利用向量法求解，分别求出平面ACB的法向量，平面ABD的法向量，利用cosθ=

m • CD

| m |•| CD|

可以求解

解答：解：（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED为正方形
如图（乙）∵F、H、G分别为AC，AD，DE的中点
∴FH∥CD，HG∥AE--------------------------------------（1分）
∵CD∥BE∴FH∥BE
∵BE?面ABE，FH?面ABE
∴FH∥面ABE-------------------------------------（3分）
同理可得HG∥面ABE
又∵FH∩HG=H
∴平面FHG∥平面ABE-----------------（4分）
（2）∵平面ACD⊥平面CBED 且AC⊥CD
∴AC⊥平面CBED----------------------------------------------------（5分）
∴V（x）=V_A-BCE=

1

3

S△BCE•AC
∵BC=x∴AC=2-x（0＜x＜2）
∴V（x）=

1

3

×

1

2

x2(2-x)=

1

6

x2(2-x)=

1

12

x•x•(4-2x)--------------（7分）
∵x•x•(4-2x)≤(

x+x+4-2x

3

)3=

64

27

∴V（x）≤

1

12

×

64

27

=

16

81

当且仅当x=4-2x即x=

4

3

时取“=”
∴V（x）的最大值为

16

81

-------------------------------------------（9分）
（3）以点C为坐标原点，CB为x轴建立空间直角坐标系
如右图示：由（2）知当V（x）取得最大值时x=

4

3

，即BC=

4

3

这时AC=

2

3

，∴B(

4

3

，0，0)，D(0，

4

3

，0)，A(0，0，

2

3

)-----（10分）
∴平面ACB的法向量

CD

=(0，

4

3

，0)
设平面ABD的法向量为

m

=(a，b，c)
∵

AB

=(

4

3

，0，-

2

3

)，

BD

=(-

4

3

，

4

3

，0)-------------（11分）
由

m

⊥

AB

，

m

⊥

BD

得-

4

3

a+

4

3

b=0，

4

3

a-

2

3

c=0
令c=1得

m

=(

1

2

，

1

2

，1)----------------------------------------（12分）
设二面角D-AB-C为θ，则cosθ=

m • CD

| m |•| CD|

=

2 3

4 3 • 1 4 + 1 4 +1

=

6

6

---（14分）

点评：本题的考点是面面平行的判断，主要考查证明面面平行，考查几何体的体积，考查二面角的平面角，关键是正确运用面面平行的判定，利用向量法求面面角，关键是求出相应的法向量．