题目内容

在直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0）， $数学公式$ ，C（2cosθ，sinθ），其中 $数学公式$ ．
（1）若 $数学公式$ ，求tanθ的值；
（2）设点D（1，0），求 $数学公式$ 的最大值；
（3）设点E（a，0），a∈R，将 $数学公式$ 表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．

解：（1）由已知，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…（2分）
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．…（3分）
（2）由已知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（5分）
又 $\text{[math]}$ ，…（6分）
所以，当θ=0时， $\text{[math]}$ 取得最大值，最大值为4．…（8分）
（3）由已知， $\text{[math]}$ ，
所以， $\text{[math]}$ ，
设t=cosθ， $\text{[math]}$ …（10分）
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，f（a）=2a-4，
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，f（a）=-1，
所以， $\text{[math]}$ …（12分）
因为当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，f（a）=-1，
所以f（a）的最大值为-1．…（14分）
分析：（1）由已知中A（-2，0）， $\text{[math]}$ ，C（2cosθ，sinθ），我们可以计算出向量 $\text{[math]}$ 的坐标，进而由 $\text{[math]}$ ，我们可以构造一个三角方程，利用同角三角函数关系，即可求出tanθ的值；
（2）由D的坐标，我们可以进而求出向量 $\text{[math]}$ 的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以给出 $\text{[math]}$ 的表达式，然后根据余弦型函数的性质，及 $\text{[math]}$ 求出其最大值．
（3）由点E的坐标，我们可以求出向量 $\text{[math]}$ 的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以将 $\text{[math]}$ 表示成θ的函数，利用换元法，将其转化为二次函数在定区间上的最值问题后，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，平面向量的综合题，熟练掌握平面向量平行的充要条件，平面向量数量积的运算公式，是解答本题的关键．