Question

已知圆O：，直线l：y=kx+m与椭圆C：相交于P、Q两点，O为原点．
（Ⅰ）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且∠AOB=60°，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，若△POQ重心恰好在圆上，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用圆心O到直线l的距离d==即可求得k，从而可得直线l的方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，利用韦达定理可求得x₁+x₂=-，又△POQ重心恰好在圆x²+y²=上，可求得+=4，化简可求得m²=，△＞0⇒1+2k²＞m²，二者联立即可求得m的范围．
解答：解：（Ⅰ）左焦点坐标为F（-1，0），设直线l的方程为y=k（x+1），由∠AOB=60°得，圆心O到直线l的距离d=，
又d=，
∴=，解得k=±．
∴直线l的方程为y=±（x+1）．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△＞0得：1+2k²＞m²…（⊕），且x₁+x₂=-．
∵△POQ重心恰好在圆x²+y²=上，
∴+=4，
即+=4，即（1+k²）+4km（x₁+x₂）+4m²=4．
∴-+4m²=4，化简得：m²=，代入（⊕）式得：k≠0，
又m²==1+=1+．
∵k≠0，
∴m²＞1，
∴m＞1或m＜-1．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查点到直线间的距离公式，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与逻辑思维与运算能力，属于难题．