Question

在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．

（1）求证：PA⊥平面ABCDE；

（2）求二面角A-PD-E的大小；

（3）求点C到平面PDE的距离．

Answer 1

（1）证明∵PA=AB=2a，PB=a,

∴PA²+AB²=PB²，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．

同理PA⊥AE．

∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．

（2）解法一：∵∠AED＝90°，

∴AE⊥ED．

∵PA⊥平面ABCDE，

∴PA⊥ED．

∴ED⊥平面PAE．

过A作AG⊥PE于G，

过DE⊥AG，

∴AG⊥平面PDE．

过G作GH⊥PD于H，连AH，

由三垂线定理得AH⊥PD．

∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．

在直角△PAE中，AG＝a．

在直角△PAD中，AH＝a，

∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．∴∠AHG＝arcsin．

∴二面角A-PD-E的大小为arcsin．

解法二：建立如图所示的直角坐标系,

则B（2a,0,0）,E（0,2a,0）,P（0,0,2a）,D（a,2a,0）,C（2a,a,0）,

过A作AN⊥PD于N，

∵＝（a,2a,-2a）,

设=λ,

∴=+=（λa,2λa,2a-2λa）

∵AN⊥PD，

∴?=0．

∴a?λa+2a?2λa-2a?（2a-2λa）=0．

解得λ=．

∴=（a，a, a）

即=（-a, -a, -a）

同理，过E作EM⊥PD于M，

则=（-a, a, -a）．

二面角A-PD-E的大小为，所成的角<，>．

∵cos<,>=arccos=．

∴<,>=arccos=．

∴二面角A-PD-E的大小为arccos．

（3）解法一：∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,

   BC=DE=a,AB=AE=2a,

   取AE中点F，连CF，

   ∵AF∥=BC,

   ∴四边形ABCF为平行四边形．

   ∴CF∥AB，而AB∥DE，

   ∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，

   ∴CF∥平面PDE．

   ∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．

   ∵PA⊥平面ABCDE，

   ∴PA⊥DE．

   又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．

   ∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．

   ∴FG的长即F点到平面PDE的距离．

     在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，

   ∴FG=a． ∴点C到平面PDE的距离为a．

   解法二：∵PA平面ABCDE，∴PA⊥DE，

   又∵∠DEA=90°，∴DE⊥平面PAE，∴DE⊥PE．

   ∵BC=DE=a，AB=AE=2a，

   连接CE，

则S_△CDE=a²，S_△DEP=a² ．

 ∵V_P-CDE=?PA?S_△CDE=?2a?a²＝a²．

  设点C到平面PDE的距离为h，

则V _C-PDE＝?h?S_△PDE=?h?a²＝a²h．

   ∵V_P-CDE=V_C-PDE,

   即a³＝a²h，

   解得h＝a．即点C到平面PDE的距离为a．

解法三：建立如图所示的直角坐标系,

则B（2a,0,0）,E（0,2a,0）,P（0,0,2a）,

D（a,2a,0）,C（2a,a,0）,

设平面PDE的一个法向量为n=（x,y,1）,

∵＝（0,2a,-2a）,=（-a,0,0）,

又∵n⊥平面PDE．

∴n⊥，n⊥．

∴

即

解得

∴n=（0,1,1）．  

∵=（-a,a,0）,

∴cos<,n>=

∵0≤<，n>≤π，

∴<，n>=．

∵过C作CH⊥平面PDE于H，则CH=||?|cos<，n>|，

即点C到平面PDE的距离为

||?|cos<,n>|=a．