Question

（2013•虹口区一模）在正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA的长为2

5

，PA与CD所成的角的大小等于arccos

10

5

．
（1）求正四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若正四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的表面上，求此球O的半径．

Answer 1

分析：（1）取AB的中点M，记正方形ABCD对角线的交点为O'，连PM，PO'，AC，则AC过O'．求出四棱锥的底面面积，与高，即可求正四棱锥P-ABCD的体积；
（2）正四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的表面上，连AO，OO'，设球的半径为R，通过解直角三角形，求此球O的半径．

解答： 解：（1）取AB的中点M，记正方形ABCD对角线的交点为O'，连PM，PO'，AC，则AC过O'．
∵PA=PB，∴PM⊥AB，又cos∠PAM=

10

5

，PA=2

5

，得AM=2

2

．…（4分）
AO'=4，PO'=2VP-ABCD=

1

3

S底•PO′=

1

3

•(4

2

)2•2=

64

3

∴正四棱锥P-ABCD的体积等于

64

3

（立方单位）．…（8分）
（2）连AO，OO'，设球的半径为R，则OA=R，OO'=R-PO'=R-2，在Rt△OO'A中有R²=（R-2）²+4²，得R=5．…（12分）

点评：本题考查球的内接多面体，球的半径以及几何体的体积，考查计算能力与空间想象能力．