题目内容

已知定点A（0，1）、B（0，-1）、C（1，0），动点P满足： $数学公式$ （k∈R）．
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；
（2）当k=2时，求 $数学公式$ 的最大值和最小值．

解：（ 1 ）设动点P的坐标为（x，y），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴x²+y²-1=k[（x-1）²+y²]，即（k-1）x²+（k-1）y²-2kx+k+1=0
若k=1，，则方程为x=1，表示过点（1，0）且平行于y轴的直线；
若k≠1，则方程为（x+ $\text{[math]}$ ）²+y²=（ $\text{[math]}$ ）²，表示以（ $\text{[math]}$ ，0）为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆；
（ 2 ）当k=2时，方程化为（x-2）²+y²=1， $\text{[math]}$ =|（2x，2y）|=2 $\text{[math]}$
令x=2+cosθ，y=sinθ，则 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
∴当cosθ=1时， $\text{[math]}$ 的最大值为6，当cosθ=-1时， $\text{[math]}$ 的最小值为2．
分析：（1）根据题意，设出P的坐标（x，y），可得向量的坐标，代入 $\text{[math]}$ |中，可得（k-1）x²+（k-1）y²-2kx+k+1=0，分k=1与k≠1两种情况讨论，可得答案；
（2）表示出向量和的模，利用圆的参数方程设点的坐标，即可求得 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值．
点评：本题考查直线与圆的方程的综合运用，考查向量知识的运用，考查圆的参数方程，属于中档题．