Question

（文科）已知定点A（0，-1），点M（x，y）在曲线y=x²（0＜x＜3）上运动，过点M作垂直于x轴的直线l，l交直线y=9于点N．
（1）求△AMN面积f （x）；
（2）求f （x）的最大值及此时点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）点M（x，x²），N（x，9），|MN|=9-x²，点A到MN的距离为x，由三角形面积公式可求；
（2）f′（x）=-

3

2

x2+

9

2

，利用导数判断函数的单调性，根据单调性可求得最大值；

解答：解（1）点M（x，x²），N（x，9），则|MN|=9-x²，点A到MN的距离为x，
从而△AMN的面积f（x）=-

1

2

x3+

9

2

x（0＜x＜3）；
（2）f（x）=-

1

2

x3+

9

2

x（0＜x＜3），f′（x）=-

3

2

x2+

9

2

，
当x∈(0，

3

)时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈(

3

，3)时，f′（x）＜0，f（x）递减，
所以，f（x）的最大值为f（

3

）=3

3

，此时点M的坐标为（

3

，3）．

点评：本题考查利用导数求函数的最值、三角形的面积求解，考查学生的理解分析能力．