Question

【题目】已知函数.

（1）设，求的最大值及相应的值；

（2）对任意正数恒有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，取得最大值；（2）

【解析】

（1）先化简函数g（x）＝lnx﹣f′（x）f（x）＝lnx﹣（2x﹣1）（x2﹣x），从而求定义域；再求导g′（x）；从而确定函数的最大值及相应的值；

（2）f（x）+f（）≥（x）lnm可化为x2﹣x（x）lnm；从而化为lnm；化简得1＝（x）1；从而利用换元法求函数的最值，从而化恒成立问题为最值问题．

（1）∵，∴，

∴

则

∵的定义域为，∴

①当时，；②当时，；③当时，

因此在上是增函数，在上是减函数，

故当时，取得最大值.

（2）由（1）可知，

不等式可化为①

因为，所以（当且仅当取等号）

设，则把①式可化为，即（对恒成立）

令，此函数在上是增函数，

所以的最小值为

于是，即.